|
1.
|
A. SIFAT-SIFAT
OPERASI PADA BILANGAN BULAT
·
( a +
b ) + c = a + ( b + c ) [sifat assosiatif]
·
( a ×
b ) × c = a × ( b × c ) [sifat assosiatif]
·
a + b = b + a
[sifat komutatif]
·
a × b = b × a
[sifat komutatif]
·
a + 0 = 0 + a =
a [unsur identitas]
·
a × 1 = 1 × a =
a [unsur identitas]
·
a + (-a) = 0
[unsur invers]
·
jika a dan b
bilangan bulat maka a + b juga merupakan bilangan bulat
·
jika a dan b
bilangan bulat maka a × b juga merupakan bilangan bulat
·
jika berlaku a
< b dan c < 0 maka a + c < b + c
·
jika berlaku a
< b dan c < d maka a + c < b + d
·
jika berlaku a
< b dan c > 0 maka a × c > b × c
B. PEMBAGIAN
BERSISA
Sifat :
Misalkan b adalah bilangan bulat positif. Untuk setiap bilangan bulat a, ada
dengan tunggal bilangan bulat q dan s sehingga :
a = qb + s dengan 0 ≤ s < b
Pengertian :
Suatu bilangan bulat b disebut pembagi dari a jika ada bilangan bulat q
sehingga a = qb. Dari sini, a dikatakan habis dibagi b atau b dikatakan membagi habis a dan
dinotasikan dengan
. Jadi jika
maka s = 0.
Sifat
pembagian bersisa pada himpunan bilangan bulat
berlaku:
·
Untuk setiap
bilangan bulat a berlaku
·
Untuk setiap bilangan
bulat a, b dan c berlaku jika
dan
maka
·
Untuk setiap bilangan
bulat a, b, c, x dan y berlaku jika
dan
maka
·
Untuk setiap bilangan
bulat a, b, dan c berlaku jika
maka
·
Untuk setiap bilangan
bulat a berlaku
·
Jika
dan
maka a = ±b. bilangan a
dan b disebut berasosiasi
Ciri-ciri
bilangan yang habis dibagi n:
|
Habis dibagi
|
Ciri-ciri
|
|
2
3
4
5
8
9
11
|
Digit terakhirnya genap
Jumlah digitnya habis dibagi 3
Dua digit terakhirnya habis dibagi 4
Digit terakhirnya 0 atau 5
Tiga digit terakhirnya habis habis
dibagi 8
Jumlah digitnya habis dibagi 9
Selisih digit-digit pada tempat ganjil
dan tempat gasal adalah nol
|
C. FPB dan KPK
Pengertian FPB :
Suatu
bilangan positif d disebut factor persekutuan terbesar (great common divisor /
gcd)bilangan a dan b jika:
·
d membagi habis
a dan b
dan
·
untuk setiap
bilangan e pembagi habis a dan b maka
Selanjutnya,
FPB d dari bilangan a dan b dinotasikan
dengan gcd(a,b) = d
Atau fpb(a,b) = d.
Pengertian relative prime :
Dua
buah bilangan a dan b disebut saling prima(relative prime) jika gcd(a,b) = 1.
Sifat:
Jika
a dan b dua buah bilangan bulat dan d = gcd (a,b), maka terdapat bilangan bulat
m dan n sehingga d = ma + nb.
Sifat pemfaktoran tunggal:
Setiap
bilangan bulat a dengan
, maka a dapat ditulis sebagai perkalian bilangan prima.
Contoh
: 7056 = 243272.
Pengertian
KPK :
Suatu
bilangan positif d disebut kelipatan persekutuan terkecil bilangan a dan b
jika:
·
d kelipatan a
dan b, jadi
dan
·
untuk setiap bilangan e
kelipatan dari a dan b maka
KPK
d dari bilangan a dan b dinotasikan dengan KPK (a,b)= d
D. SIFAT-SIFAT OPERASI
BILANGAN RASIONAL
Suatu
bilangan disebut bilangan rasional jika dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan
biasa dua buah bilangan bulat. Jadi, a disebut bilangan bulat p dan q, dengan q
≠ 0 sehingga
.
Sifat-sifat
Bilangan Rasional:
·
(a + b) + c = a + (b + c) [assosiatif]
·
(a × b) × c = a × (b × c) [assosiatif]
·
a + b = b + a
[sifat komutatif]
·
a × b = b × a
[sifat komutatif]
·
a + 0 = 0 + a =
a [unsur identitas]
·
a × 1 = 1 × a =
a [unsur identitas]
·
a + (-a) = 0
[unsur invers]
·
a × a-1
= 1, a ≠ 0 [unsur invers]
E. MERASIONALKAN
Tidak
semua bilangan dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan biasa dua bilangan bulat.
Bilangan yang tidak dapat dinyatakan sebagai bentuk pecahan dua bilangan bulat
disebut bilangan irrasional.
·
Untuk menyajikan
bentuk pecahan biasa, maka penyebutnya bukan bilangan rasional.
·
Penyajian
pecahan biasa
dikatakan dalam bentuk
sederhana jika gcd (p,q) = 1
F. SIFAT - SIFAT OPERASI
BILANGAN REAL
Sifat-sifat
Bilangan Rasional:
·
(a + b) + c = a + (b + c) [assosiatif]
·
(a × b) × c = a × (b × c) [assosiatif]
·
a + b = b + a
[sifat komutatif]
·
a × b = b × a
[sifat komutatif]
·
a + 0 = 0 + a =
a [unsur identitas]
·
a × 1 = 1 × a =
a [unsur identitas]
·
a + (-a) = 0
[unsur invers]
·
a × a-1
= 1, a ≠ 0 [unsur invers]
mmncnjhduifhk
uyftbdfgefgfbejhbvfjwe
|
2.
|
A.
HIMPUNAN
Himpunan adalah kumpulan objek
yang mempunyai sifat tertentu.
Himpunan
Bagian
Himpunan S dikatakan himpunan
bagian dari A jika setiap anggota himpunan S juga menjadi anggota himpunan A
dan dinotasikan dengan
himpunan kosong selalu
menjadi himpunan bagian dari setiap himpunan yang tidak kosong. Banyak anggota
power set(semua bagian) himpunan A adalah 2n(A).
Operasi
Dua Himpunan
Ada dua buah operasi pada himpunan
A dan B. Kedua operasi tersebut adalah operasi gabungan dan operasi irisan
Operasi
Gabungan
Gabungan himpunan A dan B, ditulis
, adalah himpunan yang anggota-anggotanya merupakan anggota di A
atau B.
Operasi
Irisan
Irisan himpunan A dan B, ditulis
, adalah himpunan yang anggota-anggotanya berada di A dan B. Dua
buah himpunan dikatakan saling asing jika tidak ada anggota himpunan A yang
merupakan anggota B dan sebaliknya.
Sifat-sifat Operasi himpunan adalah
sebagai berikut:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
B.
FUNGSI
Relasi R dari himpunan X ke
himpunan Y adalah pengawanan anggota X dengan anggota Y kemudian pengawanan
ditulis dengan
dengan
Fungsi f dari X ke Y adalah relasi dari X ke Y dengan sifat untuk setiap
dikawankan tepat satu
sehingga
Himpunan X disebut daerah
asal (domain) fungsi f ditulis D(f). Himpunan Y disebut daerah kawan (codomain) fungsi f.
Himpunan semua y sehingga terdapat x yang memenuhi
disebut daerah hasil (range) fungsi f, ditulis R(f). Fungsi f dari X ke Y sering ditulis dengan f: X → Y.
C. PERBANDINGAN
Perbandingan
Senilai
Perbandingan senilai adalah dua
perbandingan yang mempunyai nilai sama. Perhitungan perbandingan senilai dapat
berdasarkan satuan ataupun perbandingan.
Perbandingan
berbalik nilai
Perbandingan berbalik nilai
adalah dua perbandingan, jika satu perbandingan itu dibalik maka akan senilai.
D. FAKTORISASI
SUKU ALJABAR
Bentuk
merupakan cara lain untuk
menulis
Untuk n = 2, rumus-rumus:
1.
2.
Pemfaktoran
Memfaktorkan suatu bilangan
artinya menyatakan bilangan itu sebagai bentuk perkalian. Contohnya pemfaktoran
25 dapat ditulis 25 = 1 × 25 atau 25 = 5 × 5. Bilangan 1, 25, dan 5 merupakan
faktor dari 25. Memfaktorkan
artinya mengubah
menjadi bentuk
Jadi faktor-faktor dari
adalah
Selisih dua kuadrat
Pemfaktoran
bentuk lain
Secara umum, untuk
maka berlaku :
a.
b.
c.
d.
e.
E.
SISTEM
PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear dalam dua
variable x dan y berbentuk
Himpunan penyelesaian system persamaan
linear merupakan pasangan bilangan real x
dan y atau (x,y) yang memenuhi kedua persamaan tersebut. Ada beberapa cara
untuk menyelesaikan persamaan linear antara lain, metode eliminasi, metode
subtitusi, metode grafik, dan metode gabungan.
F.
FUNGSI
KUADRAT
Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah
a. x1
disebut akar persamaan kuadrat jika memenuhi
= 0
b. akar
dari persamaan kuadrat
adalah:
dan bersifat :
·
nyata dan berbeda jika
·
nyata dan sama jika
·
tidak nyata dan berbeda
jika
c.
Andaikan x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan di atas, maka berlaku:
·
·
d. Jika
, maka untuk setiap x berlaku bahwa
G.
POLA
BILANGAN
Barisan adalah urutan bilangan dengan
pola tertentu
1) Barisan
bilangan genap : 0,2,4,6,8,…
2) Barisan
bilangan ganjil : 1,3,5,7,9,…
3) Barisan
bilangan segitiga: 1,3,6,10,…
4) Barisan
bilangan persegi: 1.4.9,16,…
5) Barisan
bilangan segitiga pascal: jumlah bilangan baris ke-n segitiga pascal = 2n-1
Barisan
bilangan dengan pola tertentu
Untuk menentukan rumus suku ke-n dapat dicari dengan menghubungkan
urutan bilangan/suku ke-n dengan
barisan bilangan asli.
1.
Barisan bilangan
segitiga
|
Barisan=1,3,6,10,… Deret=1+3+6+10+…
Rumus suku ke-n :
Jumlah n
suku pertama:
|
2.
Barisan bilangan
Persegi
|
Barisan=1,4,9,16,… Deret=1+4+9+16+…
Rumus suku ke-n :
Jumlah n
suku pertama:
|
3.
Barisan bilangan Kubik
|
Barisan=1,8, 27, 64,… Deret=1+8+27+64+…
Rumus suku ke-n :
Jumlah n
suku pertama:
|
4. Barisan
Aritmetika
Barisan Aritmetika adalah barisan
yang selisih di antara dua suku yang berurutan tetap.
|
Suku pertama=a beda
antara suku yang berurutan= b
Banyak suku = n Rumus suku ke-n :
Jumlah n
suku pertama:
|
5. Barisan
geometri
|
Suku pertama=a rasio
antara suku yang berurutan= r
Banyak suku = n Rumus suku ke-n :
Jumlah n
suku pertama:
|
|
3.
|
GEOMETRI
DAN PENGUKURAN
A.
GARIS
DAN SUDUT
v Kedudukan dua
garis
Dua garis dikatakan sejajar
jika:
1. kedua garis tersebut
terletak pada satu bidang datar,
2. kedua garis tersebut
tidak berpotongan.
Dua
garis berpotongan jika:
1.
terletak pada satu bidang
2. memiliki satu titik persekutuan
yang disebut titik potong.
Dua garis dikatakan saling berimpit apabila garis tersebut
terletak pada satu garis lurus, sehingga hanya terlihat sebagai satu garis lurus
saja.
Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis-garis
tersebut tidak terletak pada satu bidang datar dan tidak akan berpotongan apabila
diperpanjang.
v Sifat-sifat garis
sejajar
1.
Melalui satu
titik di luar satu garis hanya dapat ditarik tepat satu garis sejajar dengan
garis tersebut.
2.
Jika suatu garis
memotong salah satu garis dari dua garis sejajar, garis tersebut akan memotong
garis yang lain.
3.
Jika sebuah garis
sejajar dengan garis lain maka kedua garis yang lain itu saling sejajar.
v Perbandingan
segmen garis
Pada ∆ ABC di samping berlaku perbandingan sebagai berikut.
|
1. AD : DB = AE : EC
2.
AD : AB = AE : AC
3.
BD : DA = CE : EA
4.
BD : BA = CE : CA
5.
AD : AB = AE : AC = DE : BC
|
v Jenis Sudut
1.
Sudut
lurus adalah sudut yang besarnya 1800.
2.
Sudut
yang besarnya antara 00 dan 900 disebut sudut lancip.
3.
Sudut
yang besarnya antara 900 dan 1800 disebut sudut tumpul.
4.
Sudut
yang besarnya < 1800 dan > 3600 disebut sudut
refleks.
v Hubungan antar
sudut
1.
Jumlah
dua sudut yang saling berpelurus (bersuplemen) adalah 1800.
Sudut yang satu merupakan pelurus dari sudut yang lain.
2.
Jumlah
dua sudut yang saling berpenyiku (berkomplemen) adalah 900.
3.
Jika
dua garis berpotongan maka dua sudut yang letaknya saling membelakangi titik
potongnya disebut dua sudut yang bertolak belakang. Dua sudut yang saling
bertolak belakang adalah sama besar.
v Hubungan
antar sudut jika dua garis sejajar dipotong oleh garis lain
1.
Jika
dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka akan terbentuk empat
pasang sudut sehadap yang besarnya sama.
2.
Jika
dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain, besar sudutsudut dalam
berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.
3.
Jika
dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka besar sudut-sudut luar
berseberangan yang terbentuk adalah sama besar.
4.
Jika
dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut dalam
sepihak adalah 180o.
5.
Jika
dua buah garis sejajar dipotong oleh garis lain maka jumlah sudut-sudut luar
sepihak adalah 180o.
B.
BANGUN
DATAR
v Keliling dan luas
bangun datar
|
1.
Persegi Panjang
Keliling : K =
2p + 2l
Luas : L = p ×
l
2.
Persegi
Keliling : 4s
Luas : s × s
3.
Belah Ketupat
K = 4s dan L = ½ ×d1×d2
4.
Segitiga
L = ½ × a × t
|
5.
Jajar Genjang
K
= 2(a + b) dan L = a × t.
6.
Layang-layang
K = 2(a + b) dan L = ½ ×d1×d2
7.
Trapesium
K = a + b + c +
d dan
L = ½ ×(a + b)×t
8.
Lingkaran
|
v Garis-garis pada
segitiga
1.
Garis tinggi
Garis tinggi adalah garis yang
ditarik dari salah satu titik sudut segitiga dan tegak lurus garis dihadapan
titik awalnya.
2.
Garis berat
Garis berat adalah garis yang
ditarik dari salah satu titik sudut segitiga dan membagi garis di depannya dua
sama panjang.
3.
Garis bagi
Garis bagi adalah garis yang di
tarik dari suatu titik sudut dan membagi sudutnya menjadi dua sama besar.
v Kesebangunan
Pengertian : Dua buah bangun datar
dikatakan kongruen jika semua pasang sisi pada kedua bangun tersebut mempunyai
panjang yang sama dan pasangan sudut yang bersesuaian juga sama besar.
Pengertian : Dua buah bangun datar
dikatakan sebangun jika kita dapat mengaitkan setiap titik sudut pada bangun
pertama dengan titik sudut pada bangun kedua secara tunggal sehingga
sudut-sudut yang berkaitan besarnya sama dan sisi yang seletak sebanding. Dua
buah bangun datar yang sebangun dinotasikan dengan ~.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar